Cho a,b thuộc R, a,b > 0 thỏa ab = 1
Tìm GTNN của : P = \(\frac{a^3}{1+b}+\frac{b^3}{1+a}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
P
1
T
22 tháng 2 2020
\(A=\frac{1}{a^3+b^3}+\frac{1}{a^2b}+\frac{1}{ab^2}\ge\frac{1}{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}+\frac{4}{ab\left(a+b\right)}\)
\(\ge\left(\frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ab}\right)+\frac{1}{ab}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+1+1\right)^2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{ab}\ge\frac{16}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}\ge16+4=20\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
MN
2
4 tháng 8 2018
\(M=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c+3}\)
\(\ge\frac{3^2}{1+3}=\frac{9}{4}\)
=>MinM=9/4 khi a=b=c=1/3
KK
5 tháng 2 2017
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow B=\frac{\sqrt{a^3+b^3+1}}{ab}+\frac{\sqrt{b^3+c^3+1}}{bc}+\frac{\sqrt{a^3+c^3+1}}{ac}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{\left(a^3+b^3+1\right)\left(b^3+c^3+1\right)\left(a^3+c^3+1\right)}}\)
Xét \(3\sqrt[3]{\sqrt{\left(a^3+b^3+1\right)\left(b^3+c^3+1\right)\left(c^3+a^3+1\right)}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a^3+b^3+1\ge3\sqrt[3]{a^3b^3}=3ab\\b^3+c^3+1\ge3\sqrt[3]{b^3c^3}=3bc\\c^3+a^3+1\ge3\sqrt[3]{a^3c^3}=3ac\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\sqrt{a^3+b^3+1}\ge\sqrt{3ab}\\\sqrt{b^3+c^3+1}\ge\sqrt{3bc}\\\sqrt{c^3+a^3+1}\ge\sqrt{3ac}\end{matrix}\right.\)
Nhân theo từng vế:
\(\Rightarrow\sqrt{\left(a^3+b^3+1\right)\left(b^3+c^3+1\right)\left(c^3+a^3+1\right)}\ge\sqrt{27a^2b^2c^2}=\sqrt{27}\)
\(\Rightarrow3\sqrt[3]{\sqrt{\left(a^3+b^3+1\right)\left(b^3+c^3+1\right)\left(c^3+a^3+1\right)}}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{27}}\)
Mà \(\frac{\sqrt{a^3+b^3+1}}{ab}+\frac{\sqrt{b^3+c^3+1}}{bc}+\frac{\sqrt{a^3+c^3+1}}{ac}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{\left(a^3+b^3+1\right)\left(b^3+c^3+1\right)\left(c^3+a^3+1\right)}}\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{a^3+b^3+1}}{ab}+\frac{\sqrt{b^3+c^3+1}}{bc}+\frac{\sqrt{a^3+c^3+1}}{ac}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{27}}\)
\(\Rightarrow B\ge3\sqrt[3]{\sqrt{27}}\)
Vậy GTNN của \(B=3\sqrt[3]{\sqrt{27}}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)
TN
15 tháng 6 2017
$ab+bc+ca=3$. CMR: $\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\geqslant \frac{3}{2}$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học
T
17 tháng 6 2019
#)Trả lời :
\(VT=\frac{3a}{1+b^2}+\frac{3b}{1+c^2}+\frac{3c}{a+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}\)
Tách VT = A + B và xét :
\(A=\frac{3a}{1+b^2}+\frac{3b}{1+c^2}+\frac{3b}{1+a^2}=\)\(\sum\)\(\left(3a-\frac{3ab^2}{1+b^2}\right)\ge\)\(\sum\)\(\left(3a-\frac{3ab}{2}\right)\)
\(B=\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}=\)\(\sum\)\(\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\ge\)\(\sum\)\(\left(1-\frac{b}{2}\right)\)
\(\Rightarrow VT=A+B=3+\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{2}\)\(\sum\)\(ab=\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{15}{2}-\frac{3}{2}=6\)
( Do \(a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}=3\))
Dấu ''='' xảy ra khi a = b = c = 1
Tham khảo nhé ^^
T
7 tháng 1 2020
4/ Xét hiệu: \(P-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=5a^2+11b^2+5c^2-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=\frac{\left(5a-b-c\right)^2+6\left(3b-2c\right)^2}{5}\ge0\)
Vì vậy: \(P\ge2\left(ab+7bc+ca\right)=2.188=376\)
Đẳng thức xảy ra khi ...(anh giải nốt ạ)
T
7 tháng 1 2020
@Cool Kid:
Bài 5: Bản chất của bài này là tìm k (nhỏ nhất hay lớn nhất gì đó, mình nhớ không rõ nhưng đại khái là chọn k) sao cho: \(5a^2+11b^2+5c^2\ge k\left(ab+7bc+ca\right)\)
Rồi đó, chuyển vế, viết lại dưới dạng tam thức bậc 2 biến a, b, c gì cũng được rồi tự làm đi:)
KN
30 tháng 7 2020
1. Áp dụng BĐT Cauchy dạng Engle, ta có :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{9}{a+b+c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
KN
30 tháng 7 2020
\(\frac{1}{3}\left(a^3+b^3+a+b\right)+ab\le a^2+b^2+1\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+b^2+1-ab\right)+ab\le a^2+b^2+1\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+1\right)\left(\frac{a+b}{3}-1\right)-ab\left(\frac{a+b}{3}-1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+1-ab\right)\left(\frac{a+b}{3}-1\right)\le0\)
Vì a, b dương \(\Rightarrow a^2+b^2+1-ab>0\Rightarrow\left(\frac{a+b}{3}-1\right)\le0\Leftrightarrow a+b\le3\)
\(M=\frac{a^2+8}{a}+\frac{b^2+2}{b}=a+\frac{8}{a}+b+\frac{2}{b}=2a+2b+\frac{8}{a}+\frac{2}{b}-\left(a+b\right)\ge8+4-3=9\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho a ; b dương
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=2;b=1\)
Cho a,b,c > 0 thỏa mãn ab + bc + ca = 3
Tìm GTNN của \(P=\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\)
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 10 2019
\(P=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ca}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{\left(ab+bc+ca\right)}=3\)
\(\Rightarrow P_{min}=3\) khi \(a=b=c=1\)
Ta có : \(\frac{a^3}{1+b}+\frac{1+b}{4}+\frac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3\left(1+b\right)}{8\left(1+b\right)}}=\frac{3}{2}a\)
\(\frac{b^3}{1+a}+\frac{1+a}{4}+\frac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{b^3}{1+a}.\frac{1+a}{4}.\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}b\)
Cộng các vế tương ứng lại ta được :
\(\frac{a^3}{1+b}+\frac{b^3}{1+a}+\frac{1}{4}\left(a+b\right)+\frac{3}{2}\ge\frac{3}{2}\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{1+b}+\frac{b^3}{1+a}\ge\frac{5}{4}\left(a+b\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{5}{4}.2\sqrt{ab}-\frac{3}{2}=1\)
Do đó \(P\ge1\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\)